UC知道问几道变态的数学题`~答对了每题追加10分~!
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 12:08:48
1.设F(X)是定义在R上的函数,且对任意X属于R有F(X+3)大于或等于F(X)+3,F(X+2)大于或等于F(X)+2,若F(998)=1002,求F(2000)
2.设a,b,c,d都是奇数,0<a<b<c<d且ab=bc,证明:如果存在正整数k,m使得a+b=2^k,b+c=2^m那么必有a=1
第二题改成ad=bc
第一道题改成F(X+3)小于或等于F(X)+3
2.设a,b,c,d都是奇数,0<a<b<c<d且ab=bc,证明:如果存在正整数k,m使得a+b=2^k,b+c=2^m那么必有a=1
第二题改成ad=bc
第一道题改成F(X+3)小于或等于F(X)+3
第一题应该是一个大于或等于,一个是小于或等于
第二题是第25届IMO的试题:
首先易证2^k＞2^m,从而k＞m
在由ad=bc,d=2^k-a,c=2^m-b可得b*2^m-a*2^k=b^2-a^2,因而2^m(b-a*2^(k-m))=(b+a)(b-a) (1)
显然,b+a,b-a为偶数,b-2^(k-m)a为奇数,并且b+a,b-a只能一个为4n型偶数,一个为4n+2型偶数
因此,如果b-2^(k-m)a=e*f,其中e,f为奇数,那么由(1)式及b+a,b-a的特性可得
(1)b+a=2^(m-1)e b-a=2f
(2)b+a=2f b-a=2^(m-1)e
这两个方程组,由ef=b-2^(k-m)a＜b-a＜2f
可得e=1
再解以上两个方程组可得a*2^(k-m+1)=2^(m-1)
又a为奇数,所以a=1
1、F(2000)≥F(998)+1002=2004;
2、ab=bc肯定错了
F(X+3)<=F(X)+3
F(2000)=F(998+334*6)<=F(998)+334*6=2004
F(X+2)>=F(X)+2
F(2000)=F(998+501*2)>=F(998)+501*2=2004
所以F(2000)=2004